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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 9: Integrales

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6. Usando el Teorema Fundamental del Cálculo, compruebe las siguientes igualdades y calcule, en cada una de ellas, el valor de KK.
b) ∫0xcos⁡t2sin⁡t+3dt=12ln⁡(∣3+2sin⁡x∣)+K\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{2 \sin t+3} d t=\frac{1}{2} \ln (|3+2 \sin x|)+K

Respuesta

Este lo vamos a resolver con los mismos razonamientos que ya usamos en el item anterior. Para probar la igualdad derivamos ambos miembros, a la izquierda aplicamos el TFC y nos queda:

(∫0xcos⁡t2sin⁡t+3dt)′=(12ln⁡(∣3+2sin⁡x∣)+K)′(\int_{0}^{x} \frac{\cos t}{2 \sin t+3} d t)'=(\frac{1}{2} \ln (|3+2 \sin x|)+K)'

cos⁡x2sin⁡(x)+3= 12⋅13+2sin⁡x⋅2cos⁡x\frac{\cos x}{2 \sin(x)+3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3+2\sin x} \cdot 2\cos x

Simplificamos y efectivamente obtenemos:

cos⁡x2sin⁡(x)+3= cos⁡x2sin⁡(x)+3\frac{\cos x}{2 \sin(x)+3} = \frac{\cos x}{2 \sin(x)+3} ✅

Para encontrar el valor de KK, evaluamos la igualdad del enunciado en x=0x = 0: ∫00cos⁡t2sin⁡t+3dt=12ln⁡(∣3+2sin⁡0∣)+K\int_{0}^{0} \frac{\cos t}{2 \sin t+3} d t=\frac{1}{2} \ln (|3+2 \sin 0|)+K

0=12ln⁡(3)+K0 = \frac{1}{2} \ln (3) + K

K=−12ln⁡(3)K = -\frac{1}{2} \ln (3)
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Micaela
10 de junio 17:37
Hola flor! no entiendo por qué al despejar K te queda el 1/2ln(3) negativo. Cuando yo lo despejo me queda -K=1/2.ln(3) y me quedo trabada, me estaría faltando un paso y no sé cuál es. Desde ya muchas gracias!
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Flor
PROFE
10 de junio 22:14
@Micaela Hola Mica! Cuando llegas a esta parte:

0=12ln⁡(3)+K0 = \frac{1}{2} \ln (3) + K

Pasas el número 12ln⁡(3)\frac{1}{2} \ln (3) restando para la izquierda, entonces te queda:

−12ln⁡(3) =K-\frac{1}{2} \ln (3) = K

Yo lo escribí dado vuelta, pero es lo mismo :)
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